Jump to content

Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница

Sign in to follow this  
admin

179 views

Знакопеременным числовым рядом
называется ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены.
Знакочередующийся ряд
Числовой ряд вида u_{1}-u_2+u_3-u_4+...+(-1)^{n-1}u_n+..., где u_n -это модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда.
Теорема Лейбница(Признак Лейбница)
Если для знакочередующегося числового ряда
u_{1}-u_2+u_3-u_4+...+(-1)^{n-1}u_n+...(*)
Выполняются два условия:

 

  • Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине u_{1} > u_2 > ...> u_n > ...
  • Члены ряда стремятся к нулю \lim_{n \to \infty} u_n = 0

то ряд (*) сходится, при этом сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство:

Частичную сумму чётного порядка можно записать так: S_{2n}=(u_{1}-u_2)+(u_3-u_4)+...+(u_{2n-1}-u_{2n}).

По условию u_{1} > u_2 > ...> u_{2n-1} > u_{2n}, следовательно все разности в скобках положительны, значит, S_{2n} увеличивается с возрастанием n и S_{2n}>0 при любом n.

С другой стороны, если переписать так S_{2n}=u_{1}-[(u_2-u_3)+(u_4-u_5)+...+(u_{2n-2}-u_{2n-1})+u_{2n}]. Выражение в квадратных скобках положительно и  S_{2n}>0, поэтому  S_{2n}<u_1для любого  n. Таким образом, последовательность частичных сумм S_{2n} ограничена и возрастает, следовательно, существует конечный  \lim_{n \to \infty}S_{2n}=S. При этом  0<S_{2n}\leq u_1.

Переходя к частичную сумму нечётного порядка, имеем S_{2n+1}=S_{2n}+u_{2n+1}. Перейдём в последнем равенстве к пределу при n \to \infty:\lim_{n \to \infty}S_{2n+1}=\lim_{n \to \infty}S_{2n}+\lim_{n \to \infty}u_{2n+1}=S+0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного порядка имеют один и тот же предел S, поэтому \lim_{n \to \infty}S_{n}=S, следовательно данный ряд сходится.

Sign in to follow this  


0 Comments


Recommended Comments

There are no comments to display.

Guest
Add a comment...

×   Pasted as rich text.   Paste as plain text instead

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.

×
×
  • Create New...

Important Information

By using this site, you agree to our Terms of Use.